Opcje zgodne z opcją fx

Konsekwentna wycena opcji walutowych Transkrypcja 1 Konsekwentna wycena opcji walutowych Antonio Castagna Fabio Mercurio Banca IMI, Milan Na obecnych rynkach opcje o różnych strajkach lub terminach zapadalności są zazwyczaj wyceniane z różnymi zmienności implikowanej. Ten stylizowany fakt, powszechnie nazywany efektem uśmiechu, może zostać uwzględniony poprzez zastosowanie określonych modeli, albo do wyceny egzotycznych instrumentów pochodnych, albo do wnioskowania o zmienności implikowanej dla nienotowanych strajków lub terminów zapadalności. To pierwsze zadanie jest zazwyczaj osiągane poprzez wprowadzenie alternatywnej dynamiki dla bazowej ceny aktywów, podczas gdy drugie jest często rozwiązywane za pomocą dostosowań lub interpolacji. W tym artykule zajmiemy się tą ostatnią kwestią i przeanalizujemy możliwe rozwiązanie na rynku opcji walutowych (FX). Na takim rynku istnieją tylko trzy aktywne notowania dla każdego okresu dojrzałości rynku (krzyżówka, odwrócenie ryzyka i motyl ważony vega), co przedstawia nam problem konsekwentnego określania innych implikowanych implikacji. Brokerzy walutowi i animatorzy rynku zazwyczaj rozwiązują ten problem, stosując procedurę empiryczną, również o nazwie Vanna-Volga (VV), aby skonstruować cały uśmiech dla danej dojrzałości. Wyceny zmienności są następnie podawane w zakresie opcji s, dla zakresów od 5 do 5. W dalszej części przeanalizujemy tę procedurę rynkową dla danej waluty. W szczególności wyprowadzimy formuły zamknięte, aby uczynić jego konstrukcję bardziej dosłowną. Następnie przetestujemy solidność (w sensie statycznym) wynikowego uśmiechu, w tym, że konsekwentnie zmieniając trzy początkowe pary strajku i zmienności, powstaje ostatecznie ta sama implikowana krzywa zmienności. Pokażemy również, że ta sama procedura stosowana do twierdzeń Europeanstyle jest zgodna z wynikami replikacji statycznej i rozważa na przykład praktyczny przypadek wariantu ilościowego europejskiego. Na koniec udowodnimy, że procedura rynkowa może być również uzasadniona w kategoriach dynamicznych, definiując strategię hedgingową, która jest lokalnie replikowana i samofinansująca się. 2 Krótki opis rynku opcji walutowych Na rynku opcji walutowych macierz zmienności budowana jest zgodnie z lepką regułą Delta. Podstawowym założeniem jest, że opcje są wyceniane w zależności od ich delty, tak że kiedy cena instrumentu bazowego się zmienia, a opcja delta opcji odpowiednio się zmienia, należy wprowadzić różną implikowaną zmienność do formuły wyceny. 1 2 Rynek opcji walutowych jest bardzo płynny, do stosunkowo długich terminów wygaśnięcia (2 lata, przynajmniej dla kursu EURUSD). Natężenie at-the-money (ATM) jest łatwo dostępne, a ryzyko odwrócenia (RR) dla 25 "call and put" i "vega-ważonego" motyla (VWB) z 25 skrzydłami jest również powszechnie sprzedawane. 1 Z tych danych można łatwo wywnioskować trzy podstawowe zmienności implikowane, z których można następnie zbudować cały uśmiech dla zakresu z 5 do 5, zgodnie z metodą, którą opiszemy poniżej. Oznaczamy przez S t wartość danego kursu w czasie t i przyjmujemy stałe krajowe i zagraniczne stopy wolne od ryzyka, które będą oznaczane odpowiednio przez r d i r f. Następnie rozważmy dojrzałość rynkową T i zdefiniujemy powiązane wyceny poniżej. Zmienność bankomatu notowana na rynku walutowym jest taka, że ​​straddle, którego strajk, dla każdego określonego wygaśnięcia, jest wybierany tak, aby kupon i wezwanie były takie same, ale z innymi znakami (przy zamianie tego podziału nie jest potrzebne żadne zabezpieczenie). Oznaczając sigma AT M zmienność ATM dla wygaśnięcia T, strajk bankomatowy K AT M musi następnie spełnić (ln S e rf TK Phi AT M (rdrf sigma2 AT M) T) (e rf T Phi in SK AT M (rdrf sigma2 AT M) T) sigma AT MT sigma AT MT, gdzie Phi oznacza skumulowaną standardową funkcję rozkładu normalnego. Prosta algebra prowadzi do: K AT M S e (r r r sigma2 AT M) T (1) RR jest typową strukturą, w której jedna kupuje połączenie i sprzedaje zestaw z symetrycznym. RR jest cytowany jako różnica między dwiema implikowanymi zmiennościami, sigma 25 c i sigma 25 p, aby wtyczki do formuły Black and Scholes dla połączenia i put odpowiednio. Oznaczając taką cenę, w znaczeniu zmienności, przez sigma RR, mamy: 2 sigma RR sigma 25 c sigma 25 p (2) VWB buduje się sprzedając przegrodę ATM i kupując 25 dusów. Aby być ważonym Vega, ilość pierwszego musi być mniejsza niż ilość tego ostatniego, ponieważ Vega z okrakiem jest większa niż Vega dławika. Cena motyla w warunkach zmienności, sigma VWB, jest następnie określana przez: sigma VWB sigma 25 c sigma 25 p 2 sigma AT M (3) Dla danej daty ważności T dwie zmienności implikowane sigma 25 c i sigma 25 p mogą być natychmiast zidentyfikowane przez rozwiązanie układu liniowego. Otrzymujemy: sigma 25 c sigma AT M sigma V W B sigma RR (4) 1 Zrzucamy znak po poziomie, zgodnie ze żargonem rynkowym. Zatem połączenie 25 jest połączeniem, którego Delta wynosi 25. Analogicznie, 25 put to taki, którego Delta jest A, pozytywna sigma RR oznacza, że ​​wywołanie jest faworyzowane przez to, że jego domniemana zmienność jest wyższa niż implikowana zmienność liczby ujemnej implikuje coś przeciwnego. 2 3 sigma 25 p sigma AT M sigma V W B 1 2 sigma RR (5) Dwa uderzenia odpowiadające 25 put i 25 call można wyprowadzić, po prostej algebrze, pamiętając ich odpowiednie definicje. Na przykład dla 25 put musimy mieć to, co od razu prowadzi do (e rf T Phi ln S 5 p (rdrf sigma2 25 p) T) .25 sigma 25 p T 5 p S e alphasigma 25 p T (rdrf sigma2 25 p) T (6) gdzie alfa: Phi 1 (1 4 erf T) i Phi 1 jest odwrotną funkcją rozkładu normalnego. Podobnie otrzymuje się: 5 c S e alphasigma 25 c T (rdrf sigma2 25 c) T (7) Podkreślamy, że dla typowych parametrów rynkowych i dla terminów zapadalności do dwóch lat, alpha gt i 3 5 p lt K AT M lt 5 c W poniższym rozdziale wyjaśnimy, jak stosować podstawowe zmienności implikowane i związane z nimi strajki, aby konsekwentnie wnioskować cały uśmiech dla danego wygaśnięcia T. W tym celu będziemy pracować z tym samym typem opcji ( np. połączenia), bezpośrednio biorąc pod uwagę ich ceny rynkowe (zamiast zmienności). Aby rozjaśnić zapis i uprościć przyszłe formuły, będziemy oznaczać przytoczone strajki (dla danego terminu T) przez K i, i 1, 2, 3, lt K 3, 4 i zestaw K:. Powiązane (rynkowe) ceny opcji, odpowiednio oznaczone jako C MKT (), C MKT () i C MKT (K 3), mają spełniać standardowe warunki braku arbitrażu. 3 Empiryczna procedura rynkowa VV Rozważmy europejską opcję kupna z terminem zapadalności T i strajku K, którego cena w Black i Scholes, w czasie t, jest oznaczona przez C BS (t K), (ln S t C BS (t K) S te rf tau K Phi (rd rf 1) (2 sigma2) tau ln S t sigma Ke rdtau Phi K (rd rf 1) 2 sigma2) tau tau sigma tau (8) gdzie tau: T t, a sigma jest danym parametrem lotności . Powszechnie wiadomo, że zgodnie z modelem Blacka-Scholesa (1973) (BS), wypłata połączenia może zostać zreplikowana za pomocą dynamicznie rozwijającej się strategii, której wartość początkowa (kompleksowa część konta bankowego) jest zgodna z ceną opcji (8). Na rzeczywistych rynkach finansowych zmienność 3 W przypadku długich terminów zapadalności praktyka rynkowa uwzględnia kurs forward jako strajk bankomatowy. 4, a K 3 zastępuje odpowiednio 5 p, K AT M i 5 c. 3 4 jest stochastyczna, a handlowcy zabezpieczają związane z tym ryzyko, budując neutralne portfele Vega. Biorąc pod uwagę specyficzny charakter rynku opcji walutowych, portfele mogą być konstruowane tak, aby dopasować częściowe instrumenty pochodne do drugiego rzędu, dzięki czemu dzięki lematowi Ito mamy doskonałe zabezpieczenie w nieskończenie długiej przerwie, patrz także Rozdział 9 poniżej. Procedura empiryczna oparta jest na wyprowadzeniu takiego portfela zabezpieczającego dla powyższego wezwania o terminie zapadalności T i strajku K. Dokładniej, chcemy znaleźć wagi czasowe x 1 (t K), x 2 (t K) i x 3 (t K) w taki sposób, że wynikowy portfel wezwań europejskich z terminem zapadalności T i strajków oraz K3 odpowiednio zabezpieczają różnice cenowe połączenia z terminem zapadalności T i częstotliwością K, aż do drugiego rzędu instrumentu bazowego i zmienności. Przyjmując pozycję zamkniętą i biorąc pod uwagę, że w świecie BS portfele opcji gładkich waniliowych (o tej samej dojrzałości), które są neutralne dla Vega, są również neutralne względem Gamma, wagi x 1 (t K), x 2 (t K) i x 3 (t K) można znaleźć nakładając, że portfel replikujący ma tę samą Vega, dvegadvol (volga) i dvegadspot (vanna), jak połączenie z strike K, mianowicie C BS (t K) sigma 2 C BS (t K) 2 sigma 2 C BS sigma S t (t K) BS C xi (t K) sigma (t K i) xi (t K) 2 C BS 2 sigma (t K i) xi (t K) 2 C BS sigma S t (t K i) (9) Oznaczenie przez V (t K) time-t Vega opcji europejskiej z (terminem dojrzałości T) uderzeniem K, V (t K) C BS sigma (t K) S te rf tau tau (d 1 (t K)) d 1 (t K) in S t K (rd rf sigma2) tau sigma tau (x) Phi (x) 1 e 1 2 x 2 2pi (1) i obliczanie drugiego rzędu pochodne możemy udowodnić, co następuje. 2 C BS V (t K) (t K) d 2 1 (t K) d 2 (t K) sigma sigma 2 C BS V (t K) (t K) sigma S t S t sigma tau d 2 (t K) d 2 (t K) d 1 (t K) sigma tau 4 5 Twierdzenie 3.1. System (9) przyznaje zawsze unikalne rozwiązanie, które jest podane przez x 1 (t K) x 2 (t K) x 3 (t K) V (t K) ln KKV (t) ln V (t K) V (t) V (t K) V (t K 3) ln KK ln ln K ln K (11) W szczególności, jeśli KK j to xi (t K) 1 dla ij i zero w przeciwnym razie. Dowód. Zobacz załącznik. 4 Wynikowa cena opcji Możemy teraz przystąpić do definicji ceny opcji, która jest zgodna z rynkowymi cenami podstawowych opcji. Cenę zgodną z uśmiechem za połączenie ze strajkiem K uzyskuje się, dodając do ceny BS koszt wdrożenia powyższej strategii hedgingowej przy dominujących cenach rynkowych. We wzorach, dla t, C (K) C BS (K) xi (K) C MKT (Ki) C BS (Ki) (12) gdzie, dla rozjaśnienia zapisu, zależność od czasu wyceny t jest poniżej pominięte, gdy zero. 5 Nowa cena opcji jest więc określona poprzez dodanie do płaskiej uśmiechu ceny BS różnicy kosztów portfela zabezpieczającego wywołanej przez zmienność rynkową implikowaną w odniesieniu do stałej zmienności sigma. Poniżej przedstawiono wyniki solidności i spójności dla ceny opcji (12). Kiedy KK j mamy wyraźnie ten C (K j) C MKT (K j), ponieważ x i (K) 1 dla i j i zero w przeciwnym razie. Dlatego (12) nie definiuje się nic poza regułą interpolacji lub ekstrapolacji cen z trzech opcji: C MKT (), C MKT () i C MKT (K 3). Krzywą zmienności implikowanej na rynku można następnie skonstruować poprzez odwrócenie (12), dla każdego rozważanego K, za pomocą wzoru BS. Przykład takiej krzywej przedstawiono na rycinie 1, na której naniesiono implikowane zmienności zarówno przeciwko uderzeniom, jak i przeciwko wprowadzonym Deltom. Korzystamy z danych EURUSD na dzień 1 lipca 25: T 3m (94365y), S 1,25, sigma AT M 9,5, sigma RR .5, sigma VWB .13, co prowadzi do sigma 25 c 8.93, sigma 5 c 9,5, sigma 25 p 9,43, K ATM. 5 p i 5 c Zobacz także tabele 1 i 2. 5 Cena ta zależy od sigma parametru zmienności. W praktyce typowym wyborem jest ustawienie sigma sigma AT M. 5 6 Zmienność Strike Put delta Wykres 1: Zmienność implikowana EURUSD wykreślona zarówno w odniesieniu do strajków, jak i w stosunku do Deltas, gdzie wyróżniono trzy podstawowe notowania rynkowe. Cena opcji C (K), w funkcji strajku K, spełnia następujące warunki (noarbitrage): i) CC 2 ((,)) ii) lim KC (K) S e rf T i lim KC (K) iii) lim dc K (K) dk e rdt i lim KK dc (K). dk Druga i trzecia właściwość, które są swobodnie spełnione przez C BS (K), wynikają z faktu, że dla każdego i, xi (K) i dx i (K) dK idą do zera dla K lub K. Aby uniknąć możliwości arbitrażu, cena opcji C (K) powinna być również funkcją wypukłą uderzenia K, tj. 2 C d (K) gt dla każdego K gt. Ta właściwość, która nie jest zgodna z ogólną zasadą 6, dotyczy jednak typowych parametrów rynkowych, tak więc (12) rzeczywiście prowadzi do cen, które w praktyce są wolne od arbitrażu. 5 Przybliżenie zmienności implikowanej Powyższa definicja ceny opcji, w połączeniu z naszą formułą analityczną (11) dla wag, pozwala na wyprowadzenie prostej aproksymacji dla implikowanej zmienności związanej z (11). Jest to opisane poniżej. Twierdzenie 5.1. Implikowana zmienność sigma (k) dla powyższej opcji z ceną C (K) jest w przybliżeniu podana przez sigma (k) sigma 1 (K): ln KK sigma ln 25 p ln KK sigma ln ATM ln K ln K sigma 25 c ( 13) 6 W rzeczywistości można znaleźć przypadki, w których nierówność jest naruszona dla niektórych strajków K. 6 7 przybliżenie prawdziwego uśmiechu. 11 przybliżenie prawdziwego uśmiechu. Strike Put Delta. Rysunek 2: zmienności implikowane EURUSD i ich przybliżenia, wykreślone zarówno w odniesieniu do strajków, jak i przeciwko Deltasowi. Dowód. Zobacz załącznik. Implikowaną sigma (k) zmienności można zatem przybliżać poprzez liniową kombinację podstawowych zmienności, z kombinatorami y i (K), które sumują się do jednego (jak żmudne, ale proste algebry pokazują). Łatwo też zauważyć, że aproksymacja jest kwadratową funkcją lnK, dzięki czemu można korzystać z prostej interpolacji parabolicznej, gdy używane są współrzędne logu. Graficzne przedstawienie dobroci aproksymacji (13) pokazano na rys. 2, gdzie używamy tych samych danych EURUSD jak na rysunku 1. Przybliżenie (13) jest niezwykle dokładne w interwale, K 3. Skrzydła jednak wydają się być zawyżone. W rzeczywistości, będąc funkcjonalną formą kwadratową w logstrike, warunki braku arbitrażu wyprowadzone przez Lee (24) dla asymptotycznej wartości zmienności implikowanych są tutaj naruszone. Tę wadę rozwiązuje druga, bardziej precyzyjna aproksymacja, która jest asymptotycznie stała przy uderzeniach ekstremalnych. Twierdzenie 5.2. Implikowaną zmienność sigma (k) można lepiej przybliżać w następujący sposób: gdzie sigma (k) sigma 2 (K): sigma sigma sigma 2d 1 (K) d 2 (K) (2sigmaD 1 (K) D 2 (K) ) d 1 (K) d 2 (K) D 1 (K): ln KK sigma ln 25 p ln KK sigma ln ATM ln K ln K sigma 25 c sigma sigma 1 (K) sigma D 2 (K): ln KK ln d 1 () d 2 () (sigma 25 p sigma) 2 ln K ln K ln K d 1 (K 3) d 2 (K 3) (sigma 25 c sigma) 2 7, (14) K d ln 1 () d 2 () (sigma ATM sigma) 2 8 .115 przybliżenie prawdziwego uśmiechu.115 przybliżenie prawdziwego uśmiechu Strike Put Deltas Rysunek 3: zmienności implikowane EURUSD i ich przybliżenia, wykreślone zarówno przeciwko strajkom, jak i przeciwko Deltom. i d 1 (x) ln S x (r d r r r sigma 2) T sigma, d 2 (x) d 1 (x) sigma T, x T Dowód. Zobacz załącznik. Jak widać na rysunku 3, przybliżenie (14) jest niezwykle dokładne również w skrzydłach. Jego jedyną wadą jest to, że nie można go zdefiniować ze względu na obecność pierwiastka kwadratowego. Radicand jest jednak pozytywny w większości praktycznych zastosowań. 6 Pierwszy wynik spójności dla ceny C (K) Obecnie podajemy dwa ważne wyniki spójności, które dotyczą ceny opcji (11) i które dodatkowo wspierają powyższą procedurę empiryczną. Pierwszy wynik jest następujący. Można się zastanawiać, co się stanie, jeśli zastosujemy naszą metodę budowy krzywej, gdy zaczniemy od trzech innych strajków, których powiązane ceny pokrywają się z tymi pochodzącymi ze wzoru (12). Oczywiście, aby nasza procedura była solidna, chcielibyśmy, aby dwie krzywe dokładnie się pokryły. Weźmy pod uwagę nowy zestaw ostrzeżeń H: i oznaczmy poprzednie wagi x i (K) przez x i (KK), aby podkreślić zależność od zestawu początkowych uderzeń. Analogicznie, xi (KH) będzie oznaczać ciężary dla uderzenia K, które pochodzą z nowego zestawu uderzeń H. Cena opcji dla każdej H i jest, z założenia, równa wartości pochodzącej z (12), tj. CH (H i) CK (H i) C BS (H i) xj (H i K) C (K j) C BS (K j) (15) j1 8 9 gdzie indeksy górne H i K podświetlają zestaw uderzeń procedurę wyceny oparta jest na. Dla generycznego uderzenia K, cena opcji związana z H jest określona, ​​analogicznie do (12), przez C H (K) C BS (K) x j (K H) C H (H j) C BS (H j). j1 Propozycja 6.1. Ceny połączeń oparte na H pokrywają się z cenami opartymi na K, a mianowicie dla każdego uderzenia K, C H (K) C K (K) (16) Dowód. Zobacz załącznik. 7 Drugi wynik spójności dla ceny C (K) Drugi wynik spójności, który można udowodnić dla ceny opcji (11), dotyczy wyceny pochodnych w stylu europejskim i ich replikacji statycznej. W tym celu przyjmijmy, że h jest prawdziwą funkcją, która jest zdefiniowana na), jest dobrze zachowana w nieskończoności i jest dwa razy różniczkowalna w sensie dystrybucji. Biorąc pod uwagę proste roszczenie z wypłatą h (s T) w czasie T, oznaczamy przez V jego cenę w czasie, biorąc pod uwagę efekt uśmiechu. Wg Carr and Madan (1998) mamy: V e rdt h () S e rf T h () h (x) c (x) dx To samo rozumowanie przyjęte wcześniej dla konstrukcji implikowanej krzywej zmienności można zastosować do ogólna wypłata h (s T). W ten sposób możemy skonstruować portfel europejskich połączeń z terminem zapadalności T i strajków oraz K 3, tak że portfel ma tę samą Vega, dvegadvol i dvegadspot, co dana pochodna. Oznaczając przez V BS cenę roszczenia w modelu Black i Scholes (1973), osiąga się to przez znalezienie wag xh 1, xh 2 i xh 3 tak, że sigma V BS sigma 2 V BS 2 sigma 2 BS sigma S xhixhixhi C BS sigma (K i) 2 C BS 2 sigma (K i) 2 C BS sigma S (K i), które zawsze istnieją unikatowo, co zostało już udowodnione w Twierdzeniu 3.1. Następnie możemy zdefiniować nową (ujednoliconą dla uśmiechu) cenę dla naszej pochodnej jako V V BS x h i C (Ki) C BS (Ki) (17) 9 10 Propozycja 7.1. Cena roszczenia, która jest zgodna z cenami opcji C, jest równa cenie roszczenia, która jest uzyskiwana poprzez skorygowanie ceny Blacka i Scholesa o różnicę kosztów portfela zabezpieczającego przy stosowaniu cen rynkowych C (K i) zamiast stałych cen zmienności C BS (Ki). W formułach V V Dowód. Zobacz załącznik. Ta propozycja stwierdza wyraźny wynik spójności dla prostych roszczeń (w stylu europejskim). W rzeczywistości, jeśli obliczymy portfel zabezpieczający dla roszczenia z zastosowaniem zmienności płaskiej i doliczymy do ceny roszczenia (obliczonej za pomocą modelu Blacka i Scholesa) różnicę kosztów portfela zabezpieczającego (cena rynkowa minus stała cena zmienności), to dokładnie pobieramy cena roszczenia uzyskana w wyniku neutralnej pod względem ryzyka gęstości wynikającej z cen opcji kupna, które są zgodne z rynkowym uśmiechem. Ten użyteczny wynik zostanie zastosowany w poniższej sekcji do konkretnego przypadku opcji ilościowej. 8 Przykład: ujednolicenie uśmiechu opcji ilościowej Opcja ilościowa to pochodna wypłacająca w terminie zapadalności T ilość omega (s TX) w walucie obcej, która jest równoważna omega (s TX) ST w walucie krajowej, gdzie omega 1 za połączenie i omegę 1 za kupno. Standardowe argumenty dotyczące replikacji statycznej implikują, że kwantyfikacja i ceny sprzedaży mogą być zapisywane w postaci zwykłego połączenia waniliowego i ceny są ustalane następująco: QCall (T, X) 2 X QPut (T, X) XP (X) 2 C (K) dk XC (X) XP (K) dk (18), gdzie P (X) jest ceną put przy X i zapadalności T, tj. P (X) C (X) S e rf TX e rdt. Weryfikujemy teraz, przy pomocy prawdziwych danych rynkowych, że ceny opcji ilościowych (18) są równe cenom (17) wynikającym z argumentów zabezpieczających. W tym celu wykorzystujemy dane rynkowe z 1 lipca, 25, jak podano w Tabelach 1 i 2. Nasze obliczenia są przedstawione w Tabeli 3, gdzie ceny opcji ilościowych obliczone za pomocą argumentów zabezpieczających, tj. Ze wzoru (17), są porównywane ze statycznymi cenami replikacji (18), które są uzyskiwane przy użyciu 5 i 3 kroków i, odpowiednio, stały krok uderzeniowy wynoszący 15 i 25. 7 Pokazano również procentowe różnice między tymi cenami. 7 Całki w (18) można oczywiście obliczyć przy użyciu bardziej wydajnych procedur. Tutaj jednak chcemy jedynie liczbowo przedstawić poprawność naszej procedury ustalania cen. 1 11 Wygaśnięcie Współczynnik dyskonta USD Współczynnik dyskonta 3m: 31 y: 37 Tabela 1: Dane rynkowe na dzień 1 lipca, 25. Delta 3M 1Y 25 Put ATM 25 Call Tabela 2: Strajki i zmienności odpowiadające trzem głównym Deltom, as 1 lipca 25. Celem tego przykładu jest również pokazanie, że ceny opcji quanto można wyprowadzić, zgodnie z rynkowym uśmiechem, wykorzystując tylko trzy opcje europejskie, a nie ciągłość strajków, jak sugeruje (18). 9 Wytrzymałość procedury ustalania cen Zakończymy artykuł poprzez motywowanie empirycznej procedury ustalania cen również w kategoriach dynamicznych. Pozornie arbitralne podejście polegające na wyzerowaniu częściowych instrumentów pochodnych cen BS do drugiego rzędu może być uzasadnione faktem, że model BS nadal jest punktem odniesienia w wycenie portfela opcji. Istnieje kilka przyczyn tego faktu, oprócz oczywistego historycznego: i) łatwość implementacji ii) jasne i intuicyjne znaczenie parametrów modelu iii) łatwo dostępne wrażliwości i iv) możliwość wyraźnych formuł dla większości wypłat. Żaden inny model nie posiada wszystkich tych funkcji w tym samym czasie. 8 W rzeczywistości nie jest tak dziwną praktyką prowadzenie portfela opcji walutowych poprzez przeszacowanie i zabezpieczanie go zgodnie z modelem BS z płaskim uśmiechem, chociaż zmienność ATM jest stale aktualizowana do poziomu rynku handlowego. 9 Obecnie udowodnimy, że jeśli opcje europejskie są wyceniane z taką samą (stochastyczną) zmiennością implikowaną (np. Zmienność ATM), zmiany wartości portfela zabezpieczającego lokalnie śledzą te z danego połączenia. W tym celu rozważamy ogólny czas t i zakładamy dynamikę podobną do Ito dla zmienności sigma t. Mamy więc przez Ito s lemma, dc BS (t K) C BS (t K) dt C BS (t K) ds t C BS (t K) dsigma tt S sigma C BS (t K) (ds 2 S 2 t) (19) C BS (t K) (dsigma 2 sigma 2 t) C BS (t K) ds t dsigma t S sigma 8 Możliwym wyjątkiem jest model niepewnego parametru Brigo, Mercurio i Rapisarda (24) . 9 Ciągle typowo oznacza codzienną lub nieco częstszą aktualizację. 11 12 Wygaśnięcie strajku 3M 1Y 3M 1Y 3M 1Y Argumenty zabezpieczające Wywołaj Replikację statyczną (5 kroków) Wywołanie Pct Diff Put Pct Diff Replikacja statyczna (3 kroki) Call Pct Diff Put Pct Diff Tabela 3: Porównanie cen opcji quanto uzyskanych za pomocą formuł ( 17) i (18). Przyjmując również pozycję "-edged" i że uderzenia Ki są tymi wyprowadzonymi w czasie początkowym, otrzymujemy natychmiast dc BS (t K) C BS (t K) xi (t K) dc BS (t K i) t C BS (t K) sigma 1 2 C BS (t K) 2 S 2 C BS (t K) 2 sigma 2 2 C BS (t K) S sigma xi (t K) C BS (t K i) dt txi (t K) C BS (t Ki) sigma dsigma txi (t K) 2 C BS (tKi) S 2 xi (t K) 2 C BS (t K i) sigma 2 xi (t K) 2 C BS ( t K i) S sigma (ds t) 2 (dsigma t) 2 ds t dsigma t Drugi, czwarty i piąty termin w RHS (2) są z definicji zerami wag xi, podczas gdy trzeci jest zerem ze względu na relacja łącząca opcje Gamma i Vega w świecie BS. Z tego samego powodu i przypominając, że każda opcja jest połączona, mamy również (2) 12 13, aby C BS (t K) t dc BS (t K) xi (t K) C BS (t K i) trd C BS (t K) xi (t K) dc BS (t K i) r C d BS (t K) xi (t K) C BS (t K i) (21) xi (t K) C BS ( t K i) dt (22) Wyrażenie w RHS tego równania jest znane w czasie t. Dlatego też portfel złożony z pozycji długiej w wezwaniu ze strajkiem K i trzema pozycjami krótkimi w wezwaniach xi (t K) ze strajkiem K i jest lokalnie wolny od ryzyka w czasie t, ponieważ w jego dyferencjału nie występują terminy stochastyczne. Jak dobrze wiadomo, w paradygmacie BS trwającym długo połączenie z strajkiem K i krótkimi akcjami C BS S bazowego aktywa jest równoważne z posiadaniem lokalnie nieobjętego ryzykiem portfela. Kiedy zmienność jest stochastyczna, a opcje są jeszcze cenione za pomocą formuły BS, nadal możemy mieć (lokalnie) doskonałe zabezpieczenie, pod warunkiem, że utrzymamy odpowiednią ilość trzech różnych opcji. Można się zastanawiać, dlaczego potrzebujemy trzech opcji, aby wykluczyć niepewność ze względu na niestabilność stochastyczną, a nie tylko taką, jaka zwykle ma miejsce przy wprowadzaniu kolejnego (jednowymiarowego) źródła losowości. Powód jest dwojaki. Po pierwsze, nie używamy spójnego modelu, ale po prostu procedury wyceny. W rzeczywistości żaden dwuwymiarowy model zmienności stochastycznej dyfuzji nie może generować płaskich uśmiechów dla wszystkich terminów zapadalności. Po drugie, nie zakładamy specyficznej dynamiki dla instrumentu bazowego i zmienności, a jedynie ogólną dyfuzję. Te trzy opcje są również potrzebne, aby wykluczyć ryzyko modelu, ponieważ nasza strategia hedgingowa jest oparta niezależnie od prawdziwej dynamiki aktywów i zmienności (przy założeniu braku skoków). 1 Wnioski Opisaliśmy rynkową procedurę empiryczną do budowy implikowanych krzywych zmienności na rynku walutowym. Zauważyliśmy, że konstrukcja uśmiechu prowadzi do formuły cenowej dla dowolnego warunkowego roszczenia w stylu europejskim. Udowodniliśmy następnie wyniki spójności na podstawie replikacji statycznej i argumentów zabezpieczających. Procedura budowy uśmiechu i związana z nim formuła cenowa są raczej ogólne. W rzeczywistości, mimo że zostały opracowane dla opcji walutowych, można je zastosować na dowolnym rynku, na którym dostępne są trzy notowania zmienności dla danego terminu zapadalności. Ostatni, nierozwiązany problem dotyczy wyceny opcji egzotycznych za pomocą pewnego uogólnienia procedury empirycznej, którą zilustrowaliśmy w tym artykule. Zasadniczo jest to dość złożona kwestia, z którą należy sobie poradzić, biorąc również pod uwagę, że obecne zmienności implikowane zawierają jedynie informacje o zagęszczeniach brzegowych, co oczywiście nie jest wystarczające do wyceny pochodnych zależnych od ścieżki. W przypadku roszczeń egzotycznych zwykle stosuje się procedury doraźne. 13 14 Na przykład ceny opcji barierowych można uzyskać poprzez zważenie różnicy kosztów w strategii replikacji przez (ryzyko neutralne pod względem ryzyka), aby nie przekroczyć bariery przed terminem zapadalności. Jednak takie korekty nie tylko są trudniejsze do uzasadnienia teoretycznego niż te w przypadku zwykłej wanilii, ale z praktycznego punktu widzenia mogą nawet mieć przeciwny znak w stosunku do implikowanego w cenach rynkowych. Dodatek A: dowody Dowód twierdzenia 3.1. Zapis systemu (9) w postaci x 1 (t K) A x 2 (t K) B, x 3 (t K) Prosta algebra prowadzi do det (a) V (t) V (t) V (t K 3) S sigma 2 d2 (t K 3) d 1 (t) d 2 (t) d 2 (t) d 1 (t K 3) d 2 (t K 3) T d 1 (t) d 2 (t ) d 2 (t K 3) d 1 (t K 3) d 2 (t K 3) d 2 (t) d 2 (t) d 1 (t) d 2 (t) d 1 (t) d 2 ( t) d 2 (t) V (t) V (t) V (t K 3) S sigma 5 T 2 ln (23), który jest ściśle dodatni, ponieważ lt3. Dlatego (9) przyznaje unikalne rozwiązanie i (11) wynika z reguły Cramera. Dowód twierdzenia 5.1. W pierwszym rzędzie w sigma, mamy C (K) C BS (K) xi (K) V (K i) sigma (ki) sigma, które, pamiętając (11) i fakt, że 3 xi (k) v (ki ) V (K), prowadzi do C (K) C BS (K) V (K) yi (K) sigma (K i) sigma, gdzie y 1 (K) ln KK ln y 2 (K) ln KK ln y 3 (K) ln K ln K 14 15 Następnie (13) pochodzi z pierwszego rzędu ekspansji Taylora C (K) C BS (K) V (K) sigma (K) sigma. Dowód twierdzenia 5.2. W drugim rzędzie w sigma, jeden ma C (K) C BS (K) Analogicznie, tak, że możemy napisać xi (K) V (K i) (sigma (ki) sigma) C BS 2 2 sigma (K i) ( sigma (ki) sigma) 2. C (K) C BS (K) V (K) (sigma (K) sigma) C BS (K) (sigma (K) 2 sigma) 2 sigma V (K) (sigma ( K) sigma) xi (K) V (K i) (sigma (ki) sigma) C BS (K) (sigma (K) 2 sigma) 2, sigma 2 C BS 2 sigma (K i) (sigma (ki) sigma) 2 Rozwiązanie tego algebraicznego równania drugiego rzędu w sigma (k) prowadzi następnie do (14). Dowód twierdzenia 6.1. Równość (16) zachowuje się wtedy i tylko wtedy, gdy. xj (KH) CH (H j) C BS (H j) j1 xi (KK) C (K i) C BS (K i) Używając (15) i zmieniając układ terminów, lewą stronę można zapisać jako xj (KH ) CH (Hj) C BS (Hj) j1 xj (KH) xi (HjK) C (Ki) C BS (Ki) j1 xj (KH) xi (HjK) C (Ki) C BS (Ki) j1, który jest równy prawej stronie powyższej równości, ponieważ dla każdego uderzenia K i j 1, 2, 3, xi (KK) xj (KH) xi (H j K) (24) j1 po od żmudnego, ale prostego zastosowania wzoru (11) dla ciężarów. 15 16 Dowód twierdzenia 7.1. Dla każdego operatora L mamy LV BS L e rdt h () S e rf T h () h (K) C BS (K) dk h (K) LC BS (K) dk, który, z definicji mas xi ( K), staje się LV BS h (K) xi (K) LC BS (Ki) dk h (K) xi (K) LC BS (Ki) dk h (K) xi (K) dk LC BS (Ki ) Dzięki unikalności wag xhi mamy więc xhi zastępując (17), otrzymujemy VV BS V BS V BS h (K) h (K) xi (K) dk, i 1, 2, 3 h (K) xi (K) dk C (Ki) C BS (Ki) xi (K) C (Ki) C BS (Ki) dk V BS VV BS V h (K) C (K) C BS (K) dk 11 Załącznik B: domyślna gęstość neutralna dla ryzyka Cena VV (12) jest określona bez wprowadzania konkretnych założeń dotyczących dystrybucji aktywów bazowych. Jednak znajomość cen opcji dla każdego możliwego strajku domyślnie określa unikalną gęstość o neutralnym poziomie ryzyka, która jest z nimi zgodna. W rzeczywistości 16 17 8 7 Vanna Volga BampS Rysunek 4: Vanna-Volga gęstość o neutralnym poziomie ryzyka w porównaniu z lognormalnym pochodzącym z modelu BS o zmienności ATM. przez ogólny wynik Breeden i Litzenberger (1978), gęstość neutralnego ryzyka p T kursu walutowego ST można uzyskać, różnicując dwukrotnie cenę opcji (12): p T (K) i T 2 C (K) erd T 2 C BS (K) erd T i 2 xi (K) C MKT (Ki) C BS (Ki). (25) Pierwszym terminem w RHS jest logormalna gęstość p BS T powiązana z geometrycznym ruchem Browna z szybkością dryftu r d r f i zmiennością sigma. Drugi termin, który jest odchyleniem od logormalności indukowanej przez uśmiech VV, jest bardziej zaangażowany i można go obliczyć, różnicując dwukrotnie masy (11). Otrzymujemy: 2 x 1 K (K) 2 2 x 3 K (K) 2 V (K) sigma 2 TV () ln 2sigma T d 1 (K) ln K 3 V (K) sigma 2 TV (K 3) 2sigma T d 1 (K) ln (d1 (K) 2 sigma T d 1 (K) 1) ln (sigma 2 T ln K) 2K K 2 (d1 (K) 2 sigma T d 1 (K) 1) ln (sigma 2 T ln K) Wykres 1K KKK ln Wykres KA o gęstości obojętnej dla ryzyka związanej z (12) przedstawiono na rysunku 4, gdzie porównano go z odpowiednią gęstością logarytmiczną p BS T. 17 18 Piśmiennictwo 1 Czarny, F. i Scholes, M. (1973) Ceny opcji i zobowiązań korporacyjnych. Journal of Political Economy 81, 2 Breeden, D. T. i Litzenberger, R. H. (1978) Ceny roszczeń zależnych od państwa w cenach opcyjnych. Journal of Business 51, 3 Brigo, D. Mercurio, F. i Rapisarda, F. (24) Uśmiechnij się w niepewności. Risk 17 (5), 4 Carr, P. P. i Madan, D. B. (1998) W kierunku teorii handlu zmiennościami. W VOLATILITY eds. R. A. Jarrow Risk Books 5 Lee, R. W. (24) Chwila formuła dla domniemanej zmienności przy ekstremalnych uderzeniach. Matematyczne finanse 14 (3), konsekwentna wycena opcji walutowych Antonio Castagna Fabio Mercurio Na obecnych rynkach opcje o różnych strajkach lub terminach zapadalności są zazwyczaj wyceniane z różną zmiennością implikowaną. Ten stylizowany fakt, który jest powszechnie określany jako "efekt smsmile", może zostać uwzględniony poprzez odwołanie się do konkretnych modeli, albo do wyceny egzotycznych instrumentów pochodnych, albo do wnioskowania zmienności implikowanej dla nienotowanych strajków lub terminów zapadalności. To pierwsze zadanie jest zazwyczaj osiągane poprzez wprowadzenie alternatywnej dynamiki dla bazowej ceny aktywów, podczas gdy drugie jest często rozwiązywane za pomocą dostosowań lub interpolacji. W tym artykule zajmiemy się tą ostatnią kwestią i przeanalizujemy możliwe rozwiązanie na rynku opcji walutowych (FX). Na takim rynku istnieją tylko trzy aktywne notowania dla każdego okresu dojrzałości rynku (straddle 0Delta, odwrócenie ryzyka i motyl ważony vega), przedstawiając nam w ten sposób problem konsekwentnego określania innych implikowanych implikacji. FX brokers and market makers typically address this issue by using an empirical procedure to construct the whole smile for a given maturity. Volatility quotes are then provided in terms of the options Delta, for ranges from the 5Delta put to the 5Delta call. In the following, we will review this market procedure for a given currency. In particular, we will derive closed-form formulas so as to render its construction more explicit. We will then test the robustness (in a static sense) of the resulting smile, in that changing consistently the three initial pairs of strike and volatility produces eventually the same implied volatility curve. We will also show that the same procedure applied to Europeanstyle claims is consistent with static-replication results and consider, as an example, the practical case of a quanto European option. We will finally prove that the market procedure can also be justified in dynamical terms, by defining a hedging strategy that is locally replicating and self-financing. Number of Pages in PDF File: 15 Keywords: FX option, smile, consisten pricing, stochastic volatility JEL Classification: G13 Date posted: January 5, 2006Consistent Pricing of FX Options Antonio Castagna Fabio Mercurio In the current markets, options with different strikes or maturities are usually priced with different implied volatilities. This stylized fact, which is commonly referred to asfsmile effect, can be accommodated by resorting to specific models, either for pricing exotic derivatives or for inferring implied volatilities for non quoted strikes or maturities. The former task is typically achieved by introducing alternative dynamics for the underlying asset price, whereas the latter is often tackled by means of statical adjustments or interpolations. In this article, we deal with this latter issue and analyze a possible solution in a foreign exchange (FX) option market. In such a market, in fact, there are only three active quotes for each market maturity (the 0Delta straddle, the risk reversal and the vega-weighted butterfly), thus presenting us with the problem of a consistent determination of the other implied volatilities. FX brokers and market makers typically address this issue by using an empirical procedure to construct the whole smile for a given maturity. Volatility quotes are then provided in terms of the options Delta, for ranges from the 5Delta put to the 5Delta call. In the following, we will review this market procedure for a given currency. In particular, we will derive closed-form formulas so as to render its construction more explicit. We will then test the robustness (in a static sense) of the resulting smile, in that changing consistently the three initial pairs of strike and volatility produces eventually the same implied volatility curve. We will also show that the same procedure applied to Europeanstyle claims is consistent with static-replication results and consider, as an example, the practical case of a quanto European option. We will finally prove that the market procedure can also be justified in dynamical terms, by defining a hedging strategy that is locally replicating and self-financing. Number of Pages in PDF File: 15 Keywords: FX option, smile, consisten pricing, stochastic volatility JEL Classification: G13 Date posted: January 5, 2006